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怎樣證明面面垂直

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-22 10:30:25 | 移動端:怎樣證明面面垂直

第一篇:怎樣證明面面垂直

怎樣證明面面垂直

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

為方便,下面#后的代表向量。

#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.

對角線的點(diǎn)積:#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd

兩組對邊平方和分別為:

ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc

ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba

則ab2+cd2=ad2+bc2等價于#bd·#bc=#bd·#ba等價于#ac·#bd=0

所以原命題成立,空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°,即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論:直徑所對的圓周角是直角,一個三角形的一邊中線等于這邊的一半,則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時,兩直線經(jīng)過平移后相交成直角,則稱兩條直線互相垂直。

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直,則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊,那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直,那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時再考慮):

ⅰ.平行關(guān)系:

線線平行:1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行:1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行,一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行:1.兩個平面無公共點(diǎn)。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系:

線線垂直:1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直,那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直:1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面,那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個,那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直:1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。

第二篇:如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形abc所在平面外的一點(diǎn),p到a,b,c三點(diǎn)的距離相等,角bac為直角,求證:平面pcb垂直平面abc

過p作pq⊥面abc于q,則q為p在面abc的投影,因?yàn)閜到a,b,c的距離相等,所以有qa=qb=qc,即q為三角形abc的中心,因?yàn)榻莃ac為直,所以q在線段bc上,所以在面pcb上有線段pq⊥平面abc,故平面pcb⊥平面abc

2

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°,即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論:直徑所對的圓周角是直角,一個三角形的一邊中線等于這邊的一半,則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時,兩直線經(jīng)過平移后相交成直角,則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直,則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊,那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直,那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時再考慮):

ⅰ.平行關(guān)系:

線線平行:1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行:1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行,一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行:1.兩個平面無公共點(diǎn)。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系:

線線垂直:1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直,那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直:1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一(好 范文網(wǎng)www.7334dd.com)個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面,那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個,那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直:1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。

第三篇:面面垂直證明例題

數(shù)學(xué)面面垂直例題

例4答案:

例8答案:取ac的中點(diǎn)為o,連接op、ob。 ao=oc,pa=pc,故po垂直

ac

第四篇:怎樣證明面面平行

怎樣證明面面平行

線線平行→線面平行如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行。

面面平行→線線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行如果連條直線同時垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直線面垂直定義:如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影,則這條直線垂直于斜線。

2

證明:∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β沒有公共點(diǎn)

又a在平面α上,b在平面β上

∴直線a、b沒有公共點(diǎn)

又∵α∩γ=a,β∩γ=b

∴a在平面γ上,b在平面γ上

∴a∥b.

3

用反證法

命題:已知α∥β,ab∈α,求證:ab∥β

證明:假設(shè)ab不平行于β

則ab交β于點(diǎn)p,點(diǎn)p∈β

又因?yàn)閜∈ab,所以p∈α

α、β有公共點(diǎn)p,與命題α∥β不符,所以ab∥β。

4

【直線與平面平行的判定】

定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義:證明直線與平面無公共點(diǎn);

(2)利用判定定理:從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì):兩個平面平行,則一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個

5

用反證法

命題:已知α∥β,ab∈α,求證:ab∥β

證明:假設(shè)ab不平行于β

則ab交β于點(diǎn)p,點(diǎn)p∈β

又因?yàn)閜∈ab,所以p∈α

α、β有公共點(diǎn)p,與命題α∥β不符,所以ab∥β。

第五篇:面面垂直

?過點(diǎn)p引三條長度相等但不共面的線段pa,pb,pc,且?apb??apc?60,

?bpc?90?,求證:平面abc?平面bpc.

bd,求二面角b?ac?d的正弦如圖,ab?平面bcd,bd?cd,若ab?bc?2

值。

a

b

如圖,已知ab是圓o的直徑,pa垂直于?o所在的平面,c是圓周上不同于a,b的任一點(diǎn),求證:平面pac?平面pbc.a(chǎn)o b

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